1. নীচের বহুপদী সংখ্যামালার মধ্যে কোনটি / কোনগুলি দ্বিঘাত বহুপদী সংখ্যামালা বুঝে লিখ।

নিয়ম:
কোনো বহুপদীতে চলক x-এর সর্বোচ্চ ঘাত যদি 2 হয়, তবে তাকে দ্বিঘাত বহুপদী (Quadratic Polynomial) বলা হয়।

---

(i) x² − 7x + 2

বিশ্লেষণ:
এই বহুপদীতে x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।

উপসংহার:
সর্বোচ্চ ঘাত 2 হওয়ায় এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী।

---

(ii) 7x⁵ − x(x + 2)

সরলীকরণ:
7x⁵ − x(x + 2) = 7x⁵ − x² − 2x

বিশ্লেষণ:
এখানে x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 5।

উপসংহার:
সর্বোচ্চ ঘাত 2 নয়, তাই এটি দ্বিঘাত বহুপদী নয়।

---

(iii) 2x(x + 5) + 1

সরলীকরণ:
2x(x + 5) + 1 = 2x² + 10x + 1

বিশ্লেষণ:
এই বহুপদীতে x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।

উপসংহার:
অতএব, এটি একটি দ্বিঘাত বহুপদী।

---

(iv) 2x − 1

বিশ্লেষণ:
এই বহুপদীতে x-এর সর্বোচ্চ ঘাত 1।

উপসংহার:
সর্বোচ্চ ঘাত 2 না হওয়ায় এটি দ্বিঘাত বহুপদী নয়।

---

2. নিচের সমীকরণগুলির কোনগুলি $a{x}^2+bx+c=0$ (যেখানে $a\mathrm{\ne }0$) আকারে লেখা যায় এবং কোনগুলি যায় না তা নির্ণয় করো।

(i) $x-1+\frac{1}{x}=6(x\mathrm{\ne }0)$

সমাধান:
ভগ্নাংশ দূর করার জন্য সমীকরণের উভয় পাশে $x$ দ্বারা গুণ করি।$$x(x-1+\frac{1}{x})=6x$$$$x^2-x+1=6x$$

সব পদ এক পাশে আনলে,$$x^2-7x+1=0$$

বিশ্লেষণ:
এই সমীকরণটি $x^2$ ঘাত পর্যন্ত রয়েছে এবং ধ্রুবক পদও আছে।

উপসংহার:
এটি $a{x}^2+bx+c=0$ আকারের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

(ii) $x+\frac{3}{x}=x^2(x\mathrm{\ne }0)$

সমাধান:
উভয় পাশে $x$ দ্বারা গুণ করলে পাই,$$x^2+3=x^3$$

$$x^3-x^2-3=0$$

বিশ্লেষণ:
এখানে চলক $x$-এর সর্বোচ্চ ঘাত 3।

উপসংহার:
এটি দ্বিঘাত নয়, তাই একে $a{x}^2+bx+c=0$ আকারে লেখা যায় না।

(iii) $x^2-6\sqrt{x}+2=0$

বিশ্লেষণ:
এই সমীকরণে $\sqrt{x}$ পদ রয়েছে, যা বহুপদীর সংজ্ঞার অন্তর্ভুক্ত নয়।

উপসংহার:
এটি কোনোভাবেই $a{x}^2+bx+c=0$ আকারের সমীকরণ নয়।

(iv) $(x-2{)}^2=x^2-4x+4$

সমাধান:
বামপক্ষ প্রসারিত করলে,$$(x-2{)}^2=x^2-4x+4$$

দুই পক্ষই একই রকম হওয়ায় সমীকরণটি সর্বদা সত্য।

বিশ্লেষণ:
এটি একটি অভেদ (Identity), সমীকরণ নয়।

উপসংহার:
একে $a{x}^2+bx+c=0$ আকারে লেখা যায় না।